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ECUACIONES DE PRIMER GRADO, SEGUNDO GRADO Y POLINOMICAS

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1.      ECUACIÓN: DEFINICIÓN, PARTES O ELEMENTOS
         Una ecuación lineal o de primer grado es una igualdad que tiene números y letras. El polinomio es de primer grado.

PARTES  O ELEMENTOS DE UNA ECUACIÓN




Toda ecuación tiene:
-       2 miembros, un primer miembro (a la izquierda) y un segundo miembro (a la derecha).
-       Términos, en el primer y segundo miembro.

ELEMENTOS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO

-       Un término algebraico está formado por números y letras, relacionados con las operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación.
-           Ejemplo:


Todo término algebraico tiene:
-       Un coeficiente (es un número con su respectivo signo).
-       Una parte literal (que puede tener una o más letras).
-       Un exponente  (El exponente es 1 que no se escribe)


2.      TEOREMAS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN:
Un teorema es una proposición que no requiere ser demostrado.
a) Si a ambos miembros de una igualdad se le suma una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a = b  ® a + c = b + c     " c Î R

b) Si  en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a + c = b + c  ® a = b     " c Î R

c) Si a ambos miembros de una igualdad lo multiplicamos por una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a = b  ® a.c = b.c    " c Î R; c ≠ 0


d) Si en ambos miembros de una igualdad cancelamos una misma cantidad la igualdad se mantiene.
Si: a.c = b.c  ® a = b    " c Î R; c ≠ 0

Los cuatro teoremas que hemos mencionado no son los únicos para resolver una ecuación, es necesario aplicar los axiomas de igualdad, los axiomas de adición y multiplicación de los números reales y otros teoremas.

3.      ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA - (Vídeos)
Son aquellas ecuaciones que presentan la siguiente forma: ax + b = 0

COMO SE RESUELVE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
    1.- Se suprimen los signos de agrupación o colección si es que hubiera, efectuando las operaciones que se presenten.
     2.- Se efectúa de tal manera que la variable x quede con signo positivo, preferentemente en el primer miembro. Aplicando las reglas  y/o axiomas.
     3.- Las constantes se pasan al miembro donde no está la variable, es decir, al segundo miembro. Aplicando las reglas ya mencionadas.
     4.-Se reducen los términos semejantes y se opera las constantes para luego despejar la incógnita o variable.
          NOTA:
         Para facilitar la resolución de una ecuación se aplica la técnica de transposición de términos:
·         Si un término está sumando o restando en uno de los miembros pasa al otro miembro con la operación contraria.
·         Si un número está multiplicando o dividiendo a la variable en uno de los miembros pasa al otro miembro con la operación contraria.
         
         Ejemplo:
         Resuelve 2x – 5 = x + 3
         Solución:
         El objetivo es despejar la variable “x”, quedando ésta en el primer miembro.
         - 5 pasa al segundo miembro con + 5 y “x” pasa al primer miembro con – x.
         2x – x = 3 + 5
         En el primer miembro reducimos términos semejantes, es decir, operamos los coeficientes 2 – 1 = 1, nos queda 1x ó x. En el segundo miembro operamos 3 + 5 = 8.
         x = 8
         NOTA:
         En el lenguaje matemático, cuando decimos operamos, nos estamos refiriendo a aplicar una operación matemática: adición (suma), sustracción (resta), multiplicación, potenciación o radicación.

     Ejemplo:
         Resuelve 6x + 2 = 2x – 5
         Solución:
         El objetivo es despejar la variable “x”, quedando ésta en el primer miembro.
         + 2 pasa al segundo miembro con – 2  y 2x pasa al primer miembro con – 2x.
         6x – 2x = – 5 – 2
         En el primer miembro reducimos términos semejantes, operamos los coeficientes del primer y segundo término 6 – 2 = 4, nos queda 4x. En el segundo miembro operamos – 5 – 2 = – 7.  
         4x = –  7
         Para que “x” quede despejando debemos eliminar el número 4 que le acompaña. Cómo 4 está multiplicando a “x” pasa al segundo miembro dividiendo.
         x = -7/4

Ejemplo:
         Calcula el conjunto solución de:
      
         Solución
         Calculamos el m.c.m. de los denominadores
         m.c.m.(3;4;2) = 12
         Multiplicamos a todos los términos de la ecuación por el m.c.m., en este caso 12.
      
  
         Operando la multiplicación y división en cada término, se tiene:
         8x – 12 = 9x + 6
         Los términos con variable pasamos al primer miembro y las constantes lo enviamos al segundo miembro
         8x – 9x = 6+12
         - x = 18
         Multiplicamos a ambos miembros por (-1)
         x = - 18
       


4.      SISTEMA DE ECUACIONES

SISTEMA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS VARIABLES
ax + by = c ....................Ecuación (1)
dx + ey = f .....................Ecuación (2)
         Un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos variables se resuelve por los métodos: reducción, sustitución, igualación, Cramer, Gauss-Jordan etc.
    
         A) MÉTODO DE REDUCCIÓN - VÍDEO
Pasos a seguir:
1) Se suman o restan las ecuaciones de modo que se elimine una de las variables.
2) Este resultado obtenido se reemplaza en la ecuación (1) o (2) para calcular el valor de la otra incógnita o variable.
Ejemplo:
         Resuelve el sistema:
         2x – 3y = 13        ……     (1)
         x + 2y = - 4                   ……     (2)

Multiplicamos a la ecuación (2)  por (-2)
         2x – 3y = 13        ……     (1)
         - x - 4y = 8          ……     (2)

     - 7y = 21
     y = - 3

El valor de y = - 3, reemplazamos en la ecuación (2)
     x + 2y = - 4
     x + 2(-3= - 4

     x – 6 = - 4
     x = - 4 +6
     x = 2

Respuesta: x = 2       ;        y = - 3
Ejemplo:
Resuelve el sistema:
3x + y = -3      ……     (1)
5x – y = - 13   ……     (2)
Respuesta:
x = - 2   ;        y = 3
     

    B) MÉTODO DE SUSTITUCIÓN - VÍDEO
         Pasos a seguir:
         1) Se despeja una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
         2) El resultado se reemplaza en la otra ecuación y se despeja la variable.
        
     Ejemplo:
Despejamos la variable “x” en la ecuación (2)
x = - 2y - 4
Este resultado reemplazamos en la ecuación (1)
2x – 3y = 13
2(-2y -4) – 3y = 13
- 4y – 8 - 3y = 13
- 7y = 13 + 8
- 7y = 21
y = - 3
Reemplazamos el valor de y = - 3  en (2)
x + 2y = - 4
x + 2(-3) = - 4
x – 6 = - 4
x = 2
Respuesta: x = 2       ;        y = - 3

     Ejemplo:
     Resuelve el sistema:

Solución:
Multiplicar a los términos de la ecuación (1) por el m.c.m.(4;5) = 20
Multiplicar a los términos de la ecuación (2) por el m.c.m.(3;4) = 12
Se tiene:
15x – 4y = - 20        ……     (1)
8x + 15y = 24          ……     (2)
Aplicando cualquiera de los métodos anteriores, el resultado es:


5.      ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Toda ecuación que se puede reducir a la forma general:
ax2 + bx + c = 0 donde a ≠ 0
“x” es la incógnita
a.b y c son las constantes

Se llama ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática.
Para determinar el tipo de solución que tiene una ecuación de segundo grado se calcula el discriminante  Δ = b2 – 4 ac
Si Δ > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales diferentes.
Si Δ = 0 , la ecuación tiene dos raíces reales iguales.
Si Δ < 0 , la ecuación tiene dos raíces complejas.
Es necesario determinar el discriminante de una ecuación de segundo grado para determinar que tipo de raíces tiene, complejas o reales. 


RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Para resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita existen varios métodos. Toda ecuación de segundo grado con una incógnita tiene dos soluciones o dos raíces.
A) MÉTODO DEL ASPA - VÍDEO
Si calculamos el discriminante de la ecuación de segundo grado y el resultado es 0 (cero) o es un número que tiene raíz cuadrada exacta, entonces, se puede resolver por el método del aspa, en caso contrario no es posible resolver por este método.
Para resolver una ecuación de segundo grado por el método del aspa, se factoriza el polinomio aplicando el método del aspa simple. Luego, cada factor se iguala a cero (0), seguidamente se despeja la variable. Los dos resultados obtenidos son el conjunto solución o raíces de la ecuación.

Ejemplo: Resuelve:  3x2 – 5x – 12 = 0
     Solución:
     

     
                       
B) LA FÓRMULA GENERAL O FÓRMULA CUADRÁTICA - VÍDEO
Cuando una ecuación de segundo grado no es posible resolver por el método del aspa, recurrimos a la fórmula general o fórmula cuadrática. Es decir cuando se obtiene como discriminante un número diferente de 0 (cero) o cuando este número no tiene raíz cuadrada exacta.

Aplicando este método es posible resolver cualquier ecuación de segundo grado.

Ejemplo:
Resuelve: 2x2 – 11x = 21
Solución
2x2 – 11x – 21 = 0 , identificamos los valores: a = 2 ; b = -11 y
c = - 21 , luego reemplazamos en la fórmula general o cuadrática.
     
TEOREMA
Si x1 y x2 son las raíces de cualquier ecuación de segundo grado se tiene:


                   
C) COMPLETANDO CUADRADOS
Para resolver por este método, el polinomio de segundo grado se transforma hasta convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto, luego se despeja la variable “x”.
Ejemplo:



6.      ECUACIÓN POLINÓMICA - VÍDEO

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA
Todo polinomio P(x) de grado  mayor o igual que 1, tiene por lo menos una raíz, puede ser real o compleja.
Todo polinomio de grado “n” tiene “n” raíces
Ejemplo:
Resuelve la ecuación polinómica x3 + 6x2 + 3x -10 = 0
Solución:
MÉTODO DE LOS DIVISORES BINÓMICOS
Se utiliza para resolver ecuaciones polinómicas  que aceptan como factores a binomios de la forma ax + b, basándose en el principio de la división algebraica, si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor será  (x – a).
Ordenamos en forma decreciente y completamos el polinomio.
Resolvemos como el método de Ruffini, probamos con los divisores del último término, es decir  10: ±1; ±2; ±5; ±10. En este caso cumple con el número -2


     
Se tiene un nuevo polinomio de menor grado. Se continúa como en el caso anterior. Pero esta vez con los divisores de 5: ±1; ±5. Por ser el último coeficiente.
Ahora cumple con 1. Se continúa:


       
Los resultados: - 2;  1 y – 5  son los valores que toma “x”
Es decir el conjunto solución es {- 2; 1; - 5}

RAÍCES RACIONALES DE UN POLINOMIO
TEOREMA DE GAUSS
Dado un polinomio de grado “n” con coeficientes enteros, para calcular las raíces racionales se considera como “p” a los divisores del término independiente y como “q” a los divisores del coeficiente del primer término. Entonces las raíces se obtienen al dividir p entre q.

Ejemplo:
Resuelve la ecuación: 6x2 + x – 2 = 0
         Solución
         A los divisores del último coeficiente “2” llamaremos “p” (± 1 ; ± 2) y a los divisores del primer coeficiente  “6” llamaremos “q” ( ± 1; ± 2; ± 3; ± 6). Con los divisores de “p” y “q”, se forman las siguientes fracciones:


ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Resuelve la ecuación:


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Resuelve el sistema de ecuaciones:

    
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Calcula el discriminante de cada una de las ecuaciones de segundo grado, interpreta que tipo de raíces tendría cada ecuación y calcula las raíces:

5) 3x2 – 2x + 1 = 0                      6) – 5x2 + 3x – 6 = 0
Calcula los valores de “x” en:


Calcula las raíces de las ecuaciones completando cuadrados:

9) x2 – 4x + 1 = 0              10) 4x2 -5x – 9 = 0
11) Calcula el conjunto de valores de m para que la siguiente ecuación no tenga soluciones reales: (m+5)x2 + 3mx - 4(m-5) = 0
12) Determina el conjunto de valores de k para que la ecuación x2+kx=2  tenga dos raíces, una de las cuales sea – 2.

ECUACIÓN POLINÓMICA
Calcula las raíces de las ecuaciones:
13) 6x+ x- 5x - 2=0       14) 20x+ 24x- 11x - 3=0